18. Esponenziale complesso
Per \(z=x+yi\), l’esponenziale complesso si definisce tramite la formula di Eulero.
\[e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\]
\[e^{z+w}=e^ze^w\]
\[e^z\ne0\quad\text{per ogni }z\in\mathbb C\]
\[|e^{x+yi}|=e^x\]
\[\arg(e^{x+yi})=y+2k\pi\]
\[e^{z+2k\pi i}=e^z\]
19. Logaritmo complesso
Per \(z\ne0\), scritto \(z=re^{i\theta}\), il logaritmo complesso è multivalore.
\[\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi),\qquad k\in\mathbb Z\]
\[\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}(z)\]
Attenzione: nel campo complesso, in generale, \(\operatorname{Log}(zw)
e\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w\) senza tenere conto dei multipli di \(2\pi i\).
20. Potenze complesse
Per \(z\ne0\) e \(\alpha\in\mathbb C\), la potenza si definisce mediante il logaritmo complesso.
\[z^\alpha=e^{\alpha\log z}\]
\[z^\alpha_{\mathrm{princ}}=e^{\alpha\operatorname{Log}z}\]
Poiché il logaritmo è multivalore, anche la potenza complessa può essere multivalore.
Caso del formulario: \(\log i=i(\pi/2+2k\pi)\), dunque \(i^i=e^{-(\pi/2+2k\pi)}\): sono infiniti valori reali positivi.
21. Seno e coseno complessi
\[\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2\]
\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]
\[\sin^2z+\cos^2z=1\]
\[\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w\]
\[\cos(z+w)=\cos z\cos w-\sin z\sin w\]
\[\cos(x+yi)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\]
\[\sin(x+yi)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\]
22. Formule iperboliche
\[\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}2\]
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2\]
\[\cos(iz)=\cosh z\]
\[\sin(iz)=i\sinh z\]
\[\cosh(iz)=\cos z\]
\[\sinh(iz)=i\sin z\]