13. Equazioni di secondo grado in \(\mathbb C\)
Per \(az^2+bz+c=0\), con \(a\ne0\), vale la formula ordinaria anche quando il discriminante è negativo.
\[z=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a},\qquad \Delta=b^2-4ac\]
\[\Delta\lt0\Rightarrow\sqrt\Delta=i\sqrt{-\Delta}\]
\[z=\frac{-b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\]
Esempio del formulario: \(z^2+4z+13=0\), \(\Delta=-36\), quindi \(z=-2\pm3i\).
14. Equazioni binomie
Un’equazione binomia ha la forma \(z^n=a\). Scrivendo \(a=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), le soluzioni sono:
\[z_k=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]\]
\[k=0,1,\ldots,n-1\]
15. Equazioni con il coniugato
Si pone \(z=x+yi\) e \(\overline z=x-yi\), poi si separano parte reale e parte immaginaria.
\[z+\overline z=2x\]
\[z-\overline z=2yi\]
\[z\overline z=x^2+y^2\]
Esempio del formulario: da \(z+\overline z=6\) segue \(2\operatorname{Re}(z)=6\), dunque \(z=3+yi\), con \(y\in\mathbb R\).
16. Equazioni e disequazioni con il modulo
Circonferenza
\[|z-z_0|=r\]
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]
Dischi
\[|z-z_0|\le r\quad\text{disco chiuso}\]
\[|z-z_0|\lt r\quad\text{disco aperto}\]
Corona circolare
\[r_1\lt|z-z_0|\lt r_2\]
Semipiani
\[\operatorname{Re}(z)\gt a\]
\[\operatorname{Im}(z)\gt b\]
17. Espressioni utili con modulo e coniugato
\[|z|^2=z\overline z\]
\[\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}\quad(z\ne0)\]
\[\overline{\left(\frac1z\right)}=\frac1{\overline z}\]
\[|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w)\]
\[|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2\operatorname{Re}(z\overline w)\]
\[|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2\]