10. Prodotto, quoziente e inverso in forma trigonometrica
Siano \(z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\) e \(z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\).
\[z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\]
\[|z_1z_2|=|z_1||z_2|\]
\[\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\]
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]\]
\[\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)\]
\[\frac1z=\frac1r[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]\]
11. Formula di De Moivre
Per ogni intero \(n\), elevare a potenza significa elevare il modulo e moltiplicare l’argomento per \(n\).
\[[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=r^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]\]
\[(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\]
\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\]
Esempio del formulario: \(1+i=\sqrt2\,\operatorname{cis}(\pi/4)\), quindi \((1+i)^8=(\sqrt2)^8\operatorname{cis}(2\pi)=16\).
12. Radici n-esime di un numero complesso
Per risolvere \(w^n=z\), si scrive \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), con \(r\gt0\). Le \(n\) radici distinte sono:
\[w_k=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]\]
\[w_k=r^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1\]
- Hanno tutte modulo \(\sqrt[n]{r}\).
- Sono equidistanti sulla circonferenza.
- Differiscono di un angolo \(2\pi/n\).
- Sono i vertici di un poligono regolare di \(n\) lati.
12.1 Radici n-esime dell’unità
L’equazione \(w^n=1\) ha le soluzioni:
\[w_k=e^{2k\pi i/n}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\]
\[\omega=e^{2\pi i/n},\qquad 1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\]
\[\omega^n=1\]
\[1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0\quad(n\gt1)\]