6. Piano complesso o piano di Gauss
Al numero \(z=a+bi\) si associa il punto \(P(a,b)\). L’asse orizzontale è l’asse reale e quello verticale è l’asse immaginario.
- \(\overline z\) è il simmetrico di \(z\) rispetto all’asse reale.
- \(-z\) è il simmetrico rispetto all’origine.
\[d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|\]
\[|z-z_0|=r\quad\text{circonferenza}\]
\[|z-z_0|\lt r\quad\text{disco aperto}\]
\[|z-z_1|=|z-z_2|\quad\text{asse del segmento}\]
7. Argomento
Per \(z\ne0\), un argomento è un angolo \(\theta\) che individua la direzione del vettore associato a \(z\). Gli argomenti differiscono per multipli interi di \(2\pi\).
\[\cos\theta=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|},\qquad \sin\theta=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}\]
\[\arg(z)=\theta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z\]
\[\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]\quad\text{oppure}\quad[0,2\pi)\]
Attenzione: non basta usare \(\arctan(b/a)\); occorre individuare il quadrante.
| Segno di \(a\) | Segno di \(b\) | Quadrante |
|---|---|---|
| + | + | I |
| - | + | II |
| - | - | III |
| + | - | IV |
\[a\gt0,b=0\Rightarrow\theta=0\]
\[a=0,b\gt0\Rightarrow\theta=\frac\pi2\]
\[a\lt0,b=0\Rightarrow\theta=\pi\]
\[a=0,b\lt0\Rightarrow\theta=-\frac\pi2\ \text{o}\ \frac{3\pi}{2}\]
8. Forma trigonometrica
Posto \(r=|z|\) e scelto un argomento \(\theta\), il numero si esprime tramite modulo e argomento.
\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,\operatorname{cis}\theta\]
\[\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta\]
\[a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta\]
\[r=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\theta=\frac ar,\quad\sin\theta=\frac br\]
9. Forma esponenziale e formula di Eulero
La formula di Eulero collega la forma trigonometrica e la forma esponenziale.
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
\[z=re^{i\theta}\]
\[e^{i\pi}=-1,\qquad e^{i\pi}+1=0\]
\[e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\]
\[\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\]
\[\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]