1. Definizione e notazione fondamentale
L’insieme dei numeri complessi è formato dai numeri scritti nella forma algebrica \(z=a+bi\), con \(a,b\in\mathbb R\) e \(i^2=-1\).
\[\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}\]
\[\operatorname{Re}(z)=a,\qquad \operatorname{Im}(z)=b\]
\[a+bi=c+di\Longleftrightarrow a=c\ \text{e}\ b=d\]
- Se \(b=0\), il numero è reale.
- Se \(a=0\), è immaginario puro.
- Lo zero è \(0+0i\).
2. Potenze dell’unità immaginaria
Le potenze di \(i\) sono periodiche con periodo 4. Per calcolare \(i^n\) si divide l’esponente per 4 e si considera il resto.
\[i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1\]
\[i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i\]
Esempio del formulario: \(i^{2026}=i^{4\cdot506+2}=i^2=-1\).
3. Operazioni in forma algebrica
Siano \(z_1=a+bi\) e \(z_2=c+di\).
\[z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\]
\[z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\]
\[z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\]
\[(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi\]
\[\frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\quad(z\ne0)\]
\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\quad(c+di\ne0)\]
Nel quoziente si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
4. Coniugato
Il coniugato di \(z=a+bi\) è \(\overline z=a-bi\).
\[\overline{\overline z}=z\]
\[\overline{z+w}=\overline z+\overline w\]
\[\overline{zw}=\overline z\,\overline w\]
\[\overline{\left(\frac zw\right)}=\frac{\overline z}{\overline w}\quad(w\ne0)\]
\[z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)\]
\[z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)\]
\[\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2},\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}\]
\[z\overline z=a^2+b^2=|z|^2\]
5. Modulo
Il modulo è la distanza del punto \((a,b)\) dall’origine nel piano complesso.
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
\[|z|\ge0,\qquad |z|=0\Longleftrightarrow z=0\]
\[|\overline z|=|z|\]
\[|zw|=|z|\,|w|\]
\[\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}\quad(w\ne0)\]
\[|z^n|=|z|^n\]
\[|z+w|\le |z|+|w|\]
\[\bigl||z|-|w|\bigr|\le |z-w|\]
\[|\operatorname{Re}(z)|\le|z|,\qquad |\operatorname{Im}(z)|\le|z|\]