23. Polinomi a coefficienti reali
Se un polinomio a coefficienti reali ha una radice complessa non reale \(z=a+bi\), allora possiede anche la radice coniugata \(\overline z=a-bi\).
\[(x-z)(x-\overline z)=x^2-2\operatorname{Re}(z)x+|z|^2\]
\[(x-a-bi)(x-a+bi)=x^2-2ax+a^2+b^2\]
24. Somme geometriche complesse
\[1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\quad(q\ne1)\]
\[q^n=1,\ q\ne1\Rightarrow1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=0\]
25. Trasformazioni geometriche
| Trasformazione | Formula | Effetto |
|---|---|---|
| Traslazione | \(w=z+z_0\) | Trasla del vettore rappresentato da \(z_0\). |
| Rotazione | \(w=e^{i\theta}z\) | Ruota di \(\theta\) attorno all’origine. |
| Omotetia | \(w=rz\), \(r\gt0\) | Moltiplica le distanze per \(r\). |
| Rotazione e dilatazione | \(w=\rho e^{i\theta}z\) | Ruota di \(\theta\) e dilata di fattore \(\rho\). |
| Coniugazione | \(w=\overline z\) | Simmetria rispetto all’asse reale. |
| Inversione | \(w=1/z\) | \(|w|=1/|z|\), \(\arg(w)=-\arg(z)\). |
26. Formule riassuntive
\[z=a+bi\]
\[\overline z=a-bi\]
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
\[z\overline z=|z|^2\]
\[\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}\]
\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\]
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
\[z_1z_2=r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\]
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\]
\[(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)\]
\[w_k=r^{1/n}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\]
27. Procedura operativa per gli esercizi
Per moltiplicare o dividere
- Operare direttamente se la forma algebrica è semplice.
- Per potenze, prodotti ripetuti o quozienti complessi, passare alla forma trigonometrica o esponenziale.
- Sommare gli argomenti nei prodotti.
- Sottrarre gli argomenti nei quozienti.
Per calcolare una potenza
- Calcolare il modulo.
- Determinare un argomento.
- Scrivere la forma trigonometrica.
- Applicare De Moivre.
- Tornare, se richiesto, alla forma algebrica.
Per calcolare le radici
- Scrivere il numero in forma trigonometrica.
- Calcolare la radice n-esima del modulo.
- Dividere l’argomento per \(n\).
- Aggiungere \(2k\pi/n\), con \(k=0,\ldots,n-1\).
- Controllare di avere ottenuto esattamente \(n\) soluzioni distinte.
Per equazioni con \(z\) e \(\overline z\)
- Porre \(z=x+yi\).
- Scrivere \(\overline z=x-yi\).
- Sostituire.
- Separare parte reale e immaginaria.
- Risolvere il sistema reale.
28. Errori frequenti
- Dimenticare che \(i^2=-1\).
- Scrivere in modo errato la radice di un numero negativo: \(\sqrt{-a}=i\sqrt a\) per \(a\ge0\).
- Usare un argomento nel quadrante sbagliato.
- Dimenticare la periodicità \(2k\pi\).
- Nelle radici n-esime, non considerare tutti i valori \(k=0,\ldots,n-1\).
- Confondere \(\arg(z)\), multivalore, con \(\operatorname{Arg}(z)\), valore principale.
- Sommare i moduli: in generale \(|z+w| e|z|+|w|\).
- Scrivere disuguaglianze come \(z_1\lt z_2\): nei complessi non esiste un ordinamento compatibile con le operazioni di campo.