Indice
1. Tutte le regole delle potenze
Definizione con esponente naturale
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ fattori}},\qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1\]
Esponente zero e uno
\[a^0=1\quad(a\ne0),\qquad a^1=a\]
Prodotto con la stessa base
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\]
Quoziente con la stessa base
\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad a\ne0\]
Potenza di potenza
\[(a^m)^n=a^{mn}\]
Potenza di prodotto
\[(ab)^n=a^n b^n\]
Potenza di quoziente
\[\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\ne0\]
Esponente negativo
\[a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a\ne0\]
Stesso esponente
\[a^n b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n\]
Esponente razionale
\[a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\]
se \(n\) è pari: \(a\ge0\)se \(n\) è dispari: \(a\in\mathbb R\)Esponente razionale negativo
\[a^{-m/n}=\frac1{a^{m/n}}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}},\qquad a\ne0\]
Esponente reale
\[a^x=e^{x\ln a},\qquad a>0\]
Segno e monotonia
| \(a>1\) | \(a^x\) è strettamente crescente. |
| \(0<a<1\) | \(a^x\) è strettamente decrescente. |
| \(a=1\) | \(1^x=1\). |
| \(a>0\) | \(a^x>0\) per ogni \(x\in\mathbb R\). |
Regole non valide
In generale: \((a+b)^n\ne a^n+b^n\), \((a-b)^n\ne a^n-b^n\), \(a^m+a^n\ne a^{m+n}\).
2. Tutte le regole dei radicali
Definizione
\[\sqrt[n]{a}=b\quad\Longleftrightarrow\quad b^n=a\]
\(n\) pari: \(a\ge0\)\(n\) dispari: \(a\in\mathbb R\)Radice come potenza
\[\sqrt[n]{a}=a^{1/n},\qquad \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\]
Prodotto di radicali con stesso indice
\[\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]
Quoziente di radicali con stesso indice
\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab},\qquad b\ne0\]
Potenza di un radicale
\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\]
Radice di una radice
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]
Trasporto fuori dal segno di radice
\[\sqrt[n]{a^n b}=\begin{cases}|a|\sqrt[n]{b},&n\text{ pari}\\a\sqrt[n]{b},&n\text{ dispari}\end{cases}\]
Trasporto dentro il segno di radice
\[a\sqrt[n]{b}=\begin{cases}\sqrt[n]{a^n b},&a\ge0\text{ se }n\text{ pari}\\\sqrt[n]{a^n b},&n\text{ dispari}\end{cases}\]
Riduzione allo stesso indice
\[\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k},\qquad k\in\mathbb N^+\]
Semplificazione dell'indice
\[\sqrt[kn]{a^{km}}=\sqrt[n]{a^m}\]
con attenzione al valore assoluto se l’indice è pariRadicali simili
\[p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}\]
Potenza pari e valore assoluto
\[\sqrt{a^2}=|a|,\qquad \sqrt[n]{a^n}=|a|\ \text{se }n\text{ è pari}\]
Regole non valide
In generale: \(\sqrt[n]{a+b}\ne\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\) e \(\sqrt[n]{a-b}\ne\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\).
3. Tutte le regole delle funzioni esponenziali
Definizione
\[f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1\]
Dominio e immagine
\[D_f=\mathbb R,\qquad \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty)\]
Intersezioni e segno
\[a^0=1,\qquad a^x>0\]
\[(0,1)\in G_f,\qquad a^x\neq0\]
Asintoto
\[y=0\]
Monotonia
| \(a>1\) | \(a^x\) è strettamente crescente. |
| \(0<a<1\) | \(a^x\) è strettamente decrescente. |
Confronto con la stessa base
\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\]
\(a>0,\ a\ne1\)Disequazioni con la stessa base
\[a^{f(x)}\gtrless a^{g(x)}\]
| \(a>1\) | il verso della disequazione resta invariato. |
| \(0<a<1\) | il verso della disequazione si inverte. |
Passaggio ai logaritmi
\[a^{f(x)}=b\Longleftrightarrow f(x)=\log_a b\]
\(b>0\)Base naturale
\[e^x>0,\qquad e^{x+y}=e^x e^y,\qquad e^{-x}=\frac1{e^x}\]
Funzione inversa
\[y=a^x\Longleftrightarrow x=\log_a y\]
4. Tutte le regole dei logaritmi
Definizione e condizioni
\[\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b\]
\(a>0\)\(a\ne1\)\(b>0\)Logaritmo del prodotto
\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\]
\(x>0,\ y>0\)Logaritmo del quoziente
\[\log_a\left(\frac xy\right)=\log_a x-\log_a y\]
\(x>0,\ y>0\)Logaritmo di una potenza
\[\log_a(x^k)=k\log_a x\]
\(x>0\)Logaritmo di una radice
\[\log_a\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_a x\]
\(x>0\)Valori fondamentali
\[\log_a1=0,\qquad \log_a a=1\]
Operazioni inverse
\[a^{\log_a x}=x,\qquad \log_a(a^x)=x\]
\(x>0\) nella prima formulaCambiamento di base
\[\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}=\frac{\ln x}{\ln a}\]
Reciprocità
\[\log_a b=\frac1{\log_b a}\]
Catena
\[\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c\]
Potenza della base
\[\log_{a^k}x=\frac1k\log_a x,\qquad k\ne0\]
Logaritmo con argomento potenza della base
\[\log_a(a^k)=k\]
Dominio e immagine
\[D=(0,+\infty),\qquad \operatorname{Im}=\mathbb R\]
Monotonia
| \(a>1\) | \(\log_a x\) è strettamente crescente. |
| \(0<a<1\) | \(\log_a x\) è strettamente decrescente. |
Regole non valide
In generale: \(\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y\) e \(\log_a(x-y)\ne\log_a x-\log_a y\).
5. Regole per equazioni e disequazioni
Equazioni esponenziali con stessa base
\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\]
Equazioni logaritmiche con stessa base
\[\log_a f(x)=\log_a g(x)\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\]
\(f(x)>0,\ g(x)>0\)Equazione logaritmica elementare
\[\log_a f(x)=k\Longleftrightarrow f(x)=a^k\]
\(f(x)>0\)Equazione esponenziale elementare
\[a^{f(x)}=b\Longleftrightarrow f(x)=\log_a b\]
\(b>0\)Disequazioni esponenziali
\[a^{f(x)}\gtrless a^{g(x)}\]
| \(a>1\) | il verso della disequazione resta invariato. |
| \(0<a<1\) | il verso della disequazione si inverte. |
Disequazioni logaritmiche
\[\log_a f(x)\gtrless\log_a g(x)\]
Condizioni: \(f(x)>0\), \(g(x)>0\)
| \(a>1\) | il verso della disequazione resta invariato. |
| \(0<a<1\) | il verso della disequazione si inverte. |
6. Tutte le principali formule di razionalizzazione
Radicale quadratico semplice
\[\frac{A}{\sqrt B}=\frac{A\sqrt B}{B}\]
Coefficiente per radicale
\[\frac{A}{k\sqrt B}=\frac{A\sqrt B}{kB}\]
Binomio con radicale: somma
\[\frac{A}{p+\sqrt q}=\frac{A(p-\sqrt q)}{p^2-q}\]
Binomio con radicale: differenza
\[\frac{A}{p-\sqrt q}=\frac{A(p+\sqrt q)}{p^2-q}\]
Somma di due radicali quadratici
\[\frac{A}{\sqrt B+\sqrt C}=\frac{A(\sqrt B-\sqrt C)}{B-C}\]
Differenza di due radicali quadratici
\[\frac{A}{\sqrt B-\sqrt C}=\frac{A(\sqrt B+\sqrt C)}{B-C}\]
Radice cubica semplice
\[\frac{A}{\sqrt[3]{B}}=\frac{A\sqrt[3]{B^2}}{B}\]
Radice di indice \(n\)
\[\frac{A}{\sqrt[n]{B^m}}=\frac{A\sqrt[n]{B^{n-m}}}{B},\qquad 0<m<n\]
Somma di due radici cubiche
\[\frac{A}{\sqrt[3]B+\sqrt[3]C}=\frac{A\left(\sqrt[3]{B^2}-\sqrt[3]{BC}+\sqrt[3]{C^2}\right)}{B+C}\]
\[(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3\]
Differenza di due radici cubiche
\[\frac{A}{\sqrt[3]B-\sqrt[3]C}=\frac{A\left(\sqrt[3]{B^2}+\sqrt[3]{BC}+\sqrt[3]{C^2}\right)}{B-C}\]
\[(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3\]