1. Scomposizioni fondamentali
- \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)
- \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
- \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
- \(x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)\)
- \(x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)\)
- \(x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)\)
- \(x^6-y^6=(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\)
- \(x^4+4x^2y^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\)
- \(x^4-4y^4=(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)\)
Osservazione. Prima di applicare una formula, controlla sempre il raccoglimento a fattor comune e riconosci il grado del polinomio.
2. Potenze di un binomio
- \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
- \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)
- \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
- \((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\)
- \((x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)
- \((x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4\)
- \((x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\)
- \((x-y)^5=x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5\)
- \((x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6\)
- \((x-y)^6=x^6-6x^5y+15x^4y^2-20x^3y^3+15x^2y^4-6xy^5+y^6\)
3. Triangolo di Tartaglia
Ogni numero interno è la somma dei due numeri posti immediatamente sopra. La riga di indice \(n\) fornisce i coefficienti dello sviluppo di \((a+b)^n\).
| 1 | → | \((a+b)^0\) |
| 1 1 | → | \((a+b)^1\) |
| 1 2 1 | → | \((a+b)^2\) |
| 1 3 3 1 | → | \((a+b)^3\) |
| 1 4 6 4 1 | → | \((a+b)^4\) |
| 1 5 10 10 5 1 | → | \((a+b)^5\) |
| 1 6 15 20 15 6 1 | → | \((a+b)^6\) |
| 1 7 21 35 35 21 7 1 | → | \((a+b)^7\) |
4. Formula del binomio di Newton
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]
In forma sviluppata:
\[(a+b)^n=a^n+\binom n1a^{n-1}b+\binom n2a^{n-2}b^2+\cdots+\binom n{n-1}ab^{n-1}+b^n\]
Caso particolare: \(a=b=1\)
\[\sum_{k=0}^{n}\binom nk=(1+1)^n=2^n\]