Matematica · Limiti

Punti di accumulazione e limiti

Definizioni rigorose, interpretazione intuitiva ed esercizi svolti con la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\), dai limiti finiti ai limiti infiniti.

1. Intorni e distanza

Definizione · Intorno

Siano \(x_0\in\mathbb R\) e \(r>0\). L'intorno completo di centro \(x_0\) e raggio \(r\) è

\[I_r(x_0)=(x_0-r,x_0+r),\qquad x\in I_r(x_0)\iff |x-x_0|<r.\]
Definizione · Intorno bucato

È l'intorno dal quale viene escluso il centro:

\[I_r(x_0)\setminus\{x_0\}.\]
Idea geometrica. \(|x-x_0|<r\) significa che la distanza di \(x\) da \(x_0\) è minore di \(r\).

2. Punto di accumulazione

Definizione rigorosa

Sia \(A\subseteq\mathbb R\). Il punto \(x_0\in\mathbb R\) è un punto di accumulazione di \(A\) se

\[\forall r>0\;\exists x\in A:\qquad 0<|x-x_0|<r.\]

Equivalentemente, ogni intorno bucato di \(x_0\) contiene almeno un punto di \(A\).

Attenzione

Non è necessario che \(x_0\in A\). Per esempio, \(0\) è punto di accumulazione di \((0,1)\), pur non appartenendo all'insieme.

Punto isolato

Un punto \(x_0\in A\) è isolato se esiste \(r>0\) tale che

\[(I_r(x_0)\setminus\{x_0\})\cap A=\varnothing.\]

3. Esempi sui punti di accumulazione

Esempio 1 · Intervallo

Per \(A=(0,1)\), tutti i punti di \([0,1]\) sono punti di accumulazione. Gli estremi \(0\) e \(1\) lo sono pur non appartenendo ad \(A\).

Esempio 2 · \(A=\{1/n:n\ge1\}\)

\(0\) è punto di accumulazione perché, dato \(r>0\), basta scegliere \(n>1/r\): allora \(0<1/n<r\). I punti \(1,1/2,1/3,\ldots\) sono isolati.

Esempio 3 · Interi

\(\mathbb Z\) non ha punti di accumulazione in \(\mathbb R\). Attorno a ogni intero \(k\), l'intorno di raggio \(1/2\) non contiene altri interi.

Esempio 4 · Razionali

Ogni reale è punto di accumulazione di \(\mathbb Q\), perché i razionali sono densi in \(\mathbb R\).

Esempio 5 · Insieme finito

\(\{1,3,7,10\}\) non possiede punti di accumulazione.

Esempio 6 · Due accumulazioni

Per \(A=\{(-1)^n+1/n:n\ge1\}\), le sottosuccessioni pari e dispari convergono rispettivamente a \(1\) e \(-1\). I punti di accumulazione sono \(\boxed{-1,1}\).

4. Definizione di limite finito

Definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\)

Sia \(f:A\to\mathbb R\) e sia \(x_0\) punto di accumulazione di \(A\). Si scrive

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L\]

se

\[\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\quad 0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.\]
Lettura intuitiva

Possiamo rendere \(f(x)\) vicina a \(L\) quanto vogliamo scegliendo \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\).

\[|x-x_0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.\]
Il valore nel punto non conta

La condizione \(0<|x-x_0|\) esclude \(x=x_0\). Il limite può esistere anche se \(f(x_0)\) è diverso da \(L\) o se \(f\) non è definita in \(x_0\).

5. Metodo per dimostrare un limite

  1. Parti da \(|f(x)-L|\).
  2. Manipola l'espressione per far comparire \(|x-x_0|\).
  3. Se compaiono fattori dipendenti da \(x\), imponi una prima condizione semplice, spesso \(\delta\le1\).
  4. Ottieni una stima del tipo \(|f(x)-L|\le C|x-x_0|\).
  5. Scegli \(\delta\) in funzione di \(\varepsilon\), ad esempio \(\delta=\min\{1,\varepsilon/C\}\).
  6. Verifica formalmente che \(0<|x-x_0|<\delta\) implica \(|f(x)-L|<\varepsilon\).

6. Esempi svolti con la definizione

1. Funzione lineare

Dimostrare \(\lim_{x\to1}(2x+3)=5\).

\[|(2x+3)-5|=2|x-1|.\]

Basta scegliere \(\boxed{\delta=\varepsilon/2}\).

2. Quadrato

Dimostrare \(\lim_{x\to2}x^2=4\).

\[|x^2-4|=|x-2||x+2|.\]

Se \(|x-2|<1\), allora \(1<x<3\) e quindi \(|x+2|<5\). Dunque \(|x^2-4|<5|x-2|\). Una scelta valida è

\[\boxed{\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}}.\]
3. Polinomio

Per \(\lim_{x\to1}(x^2+x)=2\):

\[|x^2+x-2|=|x-1||x+2|.\]

Con \(|x-1|<1\) si ha \(|x+2|<4\), quindi \(\boxed{\delta=\min\{1,\varepsilon/4\}}\).

4. Reciproco

Per \(\lim_{x\to2}1/x=1/2\):

\[\left|\frac1x-\frac12\right|=\frac{|x-2|}{2|x|}.\]

Se \(|x-2|<1\), allora \(|x|>1\), perciò il rapporto è minore di \(|x-2|/2\). Si può scegliere \(\boxed{\delta=\min\{1,2\varepsilon\}}\).

5. Radice

Per \(\lim_{x\to4}\sqrt{x}=2\):

\[|\sqrt{x}-2|=\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2}\le\frac{|x-4|}{2}.\]

Una scelta comoda è \(\boxed{\delta=\min\{4,2\varepsilon\}}\).

6. Potenza in zero

Per \(\lim_{x\to0}x^2=0\), serve \(x^2<\varepsilon\). Basta scegliere \(\boxed{\delta=\sqrt\varepsilon}\).

7. Limiti laterali e non esistenza

Limite destro\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L\]
Limite sinistro\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L\]

Il limite bilatero esiste ed è uguale a \(L\) se e solo se i due limiti laterali esistono e coincidono.

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.\]
Esempio · \(x/|x|\)

Per \(x>0\), \(x/|x|=1\); per \(x<0\), \(x/|x|=-1\). Quindi

\[\lim_{x\to0^+}\frac{x}{|x|}=1,\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{x}{|x|}=-1,\]

e il limite in \(0\) non esiste.

8. Limiti infiniti e all'infinito

Limite \(+\infty\) in un punto
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\iff \forall M>0\;\exists\delta>0:\;0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow f(x)>M.\]
Esempio · \(1/x^2\)

Per provare \(\lim_{x\to0}1/x^2=+\infty\), dato \(M>0\), scegli \(\boxed{\delta=1/\sqrt M}\).

Limite finito per \(x\to+\infty\)
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\iff \forall\varepsilon>0\;\exists K>0:\;x>K\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.\]
Esempio · \((3x+1)/x\)

\(\left|\frac{3x+1}{x}-3\right|=1/x\). Basta scegliere \(\boxed{K=1/\varepsilon}\).

9. Esercizi di allenamento

Esercizio 1Dimostra \(\lim_{x\to3}(4x-1)=11\). Risposta: \(\delta=\varepsilon/4\).
Esercizio 2Dimostra \(\lim_{x\to-2}(5x+7)=-3\). Risposta: \(\delta=\varepsilon/5\).
Esercizio 3Dimostra \(\lim_{x\to1}x^2=1\). Scelta: \(\delta=\min\{1,\varepsilon/3\}\).
Esercizio 4Dimostra \(\lim_{x\to3}x^2=9\). Scelta: \(\delta=\min\{1,\varepsilon/7\}\).
Esercizio 5Dimostra \(\lim_{x\to2}(x^2+3x)=10\). Scelta: \(\delta=\min\{1,\varepsilon/8\}\).
Esercizio 6Dimostra \(\lim_{x\to9}\sqrt{x}=3\). Scelta: \(\delta=\min\{9,3\varepsilon\}\).
Esercizio 7Dimostra \(\lim_{x\to0}x^3=0\). Risposta: \(\delta=\sqrt[3]{\varepsilon}\).
Esercizio 8Dimostra \(\lim_{x\to0}1/x^4=+\infty\). Risposta: \(\delta=1/\sqrt[4]{M}\).
Esercizio 9Determina i punti di accumulazione di \(\{2+1/n:n\ge1\}\). Risposta: \(\{2\}\).