1. Limiti trigonometrici
Fondamentale\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\]
Variante\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a\]
Tangente\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1}\]
Coseno\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}\]
Varianti principali
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{bx}=\frac ab,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan(ax)}{bx}=\frac ab\]
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(ax)}{x^2}=\frac{a^2}{2},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac12.\]
Inverse trigonometriche
\[\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1.\]
Ordine superiore
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac16,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}=\frac13.\]
2. Esponenziali e logaritmi
Esponenziale\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}\]
Base a\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a}\]
Logaritmo\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}\]
Logaritmo base a\[\lim_{x\to0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac1{\ln a}\]
Varianti con coefficienti
\[\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-1}{bx}=\frac ab,\qquad \lim_{x\to0}\frac{c^{ax}-1}{bx}=\frac{a\ln c}{b}\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+ax)}{bx}=\frac ab.\]
Ordine superiore
\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=-\frac12.\]
3. Limiti che definiscono \(e\)
Forma in zero\[\boxed{\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e}\]
Forma all'infinito\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e}\]
Successione\[\boxed{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e}\]
Parametrica\[\lim_{x\to0}(1+ax)^{b/x}=e^{ab}\]
Forma generale \(1^\infty\)
Se \(u(x)\to0\), \(v(x)\to\pm\infty\) e \(u(x)v(x)\to L\), allora, quando la base è positiva,
\[\boxed{(1+u(x))^{v(x)}\to e^L}.\]
Si può sempre passare dal logaritmo: \(\ln y=v(x)\ln(1+u(x))\sim v(x)u(x)\).
4. Potenze e radicali
Potenza reale\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha}\]
Radice quadrata\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12}\]
Radice n-esima\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac1n}\]
Rapporto incrementale\[\lim_{x\to a}\frac{x^\alpha-a^\alpha}{x-a}=\alpha a^{\alpha-1}\]
Varianti
\[\lim_{x\to0}\frac{(1+ax)^\alpha-1}{bx}=\frac{\alpha a}{b},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}=\frac an.\]
5. Equivalenze asintotiche per \(x\to0\)
| Funzione | Equivalente |
|---|---|
| \(\sin x\) | \(x\) |
| \(\tan x\) | \(x\) |
| \(\arcsin x\) | \(x\) |
| \(\arctan x\) | \(x\) |
| \(1-\cos x\) | \(x^2/2\) |
| \(e^x-1\) | \(x\) |
| \(a^x-1\) | \(x\ln a\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(x\) |
| \((1+x)^\alpha-1\) | \(\alpha x\) |
| \(\sqrt{1+x}-1\) | \(x/2\) |
| \(\sqrt[n]{1+x}-1\) | \(x/n\) |
Attenzione alle cancellazioni
Le equivalenze sono particolarmente sicure in prodotti e quozienti. In somme e differenze, se i termini principali si cancellano, occorre passare all'ordine successivo. Per esempio
\[e^x-1-x\sim\frac{x^2}{2}.\]
6. Limiti di ordine superiore
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x-\frac{x^2}{2}}{x^4}=-\frac1{24}\]
\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac16\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac13\]
\[\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1-\alpha x}{x^2}=\frac{\alpha(\alpha-1)}2.\]
7. Varianti con funzioni composte
Se \(g(x)\to0\), si può sostituire l'argomento del limite notevole:
\[\frac{\sin(g(x))}{g(x)}\to1,\qquad \frac{\tan(g(x))}{g(x)}\to1\]
\[\frac{1-\cos(g(x))}{g(x)^2}\to\frac12,\qquad \frac{e^{g(x)}-1}{g(x)}\to1\]
\[\frac{\ln(1+g(x))}{g(x)}\to1,\qquad \frac{(1+g(x))^\alpha-1}{g(x)}\to\alpha.\]
8. Gerarchia degli infiniti
Per \(x\to+\infty\)
\[\boxed{(\ln x)^m\ll x^\alpha\ll a^x}\qquad (m>0,\ \alpha>0,\ a>1).\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0.\]
9. Limiti notevoli di successioni
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac an\right)^n=e^a,\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac an\right)^{bn}=e^{ab}.\]
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\quad(a>0),\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{a^n}=0\qquad (\alpha>0,\ a>1).\]
Varianti della successione che definisce \(e\)
Queste formule completano le forme già presenti nella sezione «Numero e». Si assume \(\alpha\in\mathbb R\) e, nelle forme con \(n^\alpha\) al denominatore, \(\alpha>0\).
Successioni reciproche
\[\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=e,\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(\frac n{n+1}\right)^n=e^{-1}=\frac1e.\]
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1{n^\alpha}\right)^{n^\alpha}=e\qquad (\alpha>0).\]
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac\alpha n\right)^n=e^\alpha.\]
La stessa forma all'infinito e nello zero
\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac\alpha x\right)^x=e^\alpha,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.\]
\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac\alpha x\right)^{\beta x}=e^{\alpha\beta}.\]
Correzione importante: logaritmo e non esponenziale
\[\lim_{n\to+\infty}\log_a\left(1+\frac1n\right)=0\quad(a>0,\ a\ne1).\]
Per ottenere un limite notevole non nullo bisogna moltiplicare per \(n\):
\[\lim_{n\to+\infty}n\log_a\left(1+\frac1n\right)=\frac1{\ln a}.\]
Ulteriori varianti trigonometriche
Per \(n\to+\infty\), il limite fondamentale si applica con la sostituzione \(x=1/n\).
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}=1,\qquad \lim_{n\to+\infty}n\sin\frac1n=1.\]
\[\lim_{x\to0^+}\frac{(\sin x)^m}{x^m}=1\quad(m>0),\qquad \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1.\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}=1\quad(\alpha\ne0),\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin(\alpha x)}{\beta x}=\frac\alpha\beta\quad(\beta\ne0).\]
Per esponenti reali \(m\) nella formula con \(\sin^m x\), si considerano valori per cui le potenze sono definite, ad esempio \(x\to0^+\).
Altre forme di confronto tra infiniti
Esponenziali contro potenze
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{k^x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{k^x}{x^\alpha}=+\infty\quad(k>1,\ \alpha>0).\]
\[\lim_{x\to-\infty}x^m k^x=0\quad(k>1,\ m\in\mathbb N_0).\]
Per esponenti reali e \(x\) negativo si può usare \(|x|^\alpha\):
\[\lim_{x\to-\infty}|x|^\alpha k^x=0\quad(k>1,\ \alpha>0).\]
Logaritmi contro potenze
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0\quad(\alpha>0).\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^p}{x^\alpha}=0\quad(p>0,\ \alpha>0).\]
Limiti notevoli con il fattoriale
Per \(n\to+\infty\), con \(n\) intero positivo, si utilizza la formula di Stirling \(n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\).
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty.\]
\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n=\frac1e}.\]
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac1e,\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{n!}{n^n}=0.\]
Perché il limite vale \(1/e\)?
\[\frac{\sqrt[n]{n!}}n\sim\frac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}}{e}\longrightarrow\frac1e.\]
Poiché \(\sqrt[n]{n!}/n\to1/e<1\), elevando alla potenza \(n\) il rapporto \(n!/n^n\) tende a zero.
10. Forme indeterminate: quale strategia usare
| Forma | Strategia tipica |
|---|---|
| \(0/0\) | Scomposizione, razionalizzazione, limiti notevoli, equivalenze. |
| \(\infty/\infty\) | Confronto dei termini dominanti e gerarchia degli infiniti. |
| \(0\cdot\infty\) | Trasformare il prodotto in un quoziente. |
| \(\infty-\infty\) | Raccogliere, denominatore comune, razionalizzare o usare sviluppi. |
| \(1^\infty\) | Logaritmo oppure \((1+u)^v\to e^{\lim uv}\). |
| \(0^0\), \(\infty^0\) | Scrivere \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\). |
11. Esempi pronti all'uso
Trigonometrico\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{3x}=\frac73.\]
Coseno\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{x^2}=8.\]
Logaritmo\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+5x)}{x}=5.\]
Esponenziale\[\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac32.\]
Forma \(1^\infty\)\[\lim_{x\to0}(1+2x)^{3/x}=e^6.\]
Rapporto di notevoli\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{\tan(5x)}=\frac25.\]
Combinazione\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(3x)}{\sin^2(2x)}=\frac98.\]
12. Schema finale da memorizzare
Condizione fondamentale: le equivalenze dei primi tre riquadri valgono per \(x\to 0\) (angoli espressi in radianti), con \(a>0\), \(a\ne1\), e parametri costanti. Il simbolo \(\sim\) indica che il rapporto tende a \(1\).
\[\sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\]
\[e^x-1\sim x,\qquad a^x-1\sim x\ln a,\qquad \ln(1+x)\sim x\]
\[(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\quad(\alpha\ne0),\qquad (1+x)^{1/n}-1\sim\frac{x}{n}\quad(n\ne0)\]
\[\lim_{u\to0}(1+u)^{v(u)}=e^{\ell}\quad\text{se }v(u)u\to\ell\in\mathbb{R},\;1+u>0\]
Attenzione — limite all'infinito: il confronto \((\ln x)^m\ll x^\alpha\ll a^x\) è riferito a \(x\to+\infty\), per \(m>0\), \(\alpha>0\), \(a>1\), non a \(x\to0\).
\[(\ln x)^m\ll x^\alpha\ll a^x\qquad(x\to+\infty)\]
Varianti dei limiti notevoli per \(x\to0\)
Le varianti seguenti si ottengono sostituendo \(x\) con \(kx\), oppure più in generale con una funzione \(u(x)\to0\). Le equivalenze sono da intendere dove il rapporto è definito.
1. Seno, tangente e coseno
\[\sin(kx)\sim kx,\qquad \tan(kx)\sim kx,\qquad 1-\cos(kx)\sim\frac{k^2x^2}{2}\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{hx}=\frac{k}{h},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan(kx)}{hx}=\frac{k}{h}\quad(h\ne0)\]
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(kx)}{x^2}=\frac{k^2}{2},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{\sin(hx)}=\frac{k}{h}\quad(h\ne0)\]
2. Esponenziali e logaritmi
\[e^{kx}-1\sim kx,\qquad a^{kx}-1\sim kx\ln a,\qquad \ln(1+kx)\sim kx\]
\[\log_a(1+kx)\sim\frac{kx}{\ln a},\qquad \lim_{x\to0}\frac{a^{kx}-1}{hx}=\frac{k\ln a}{h}\quad(h\ne0)\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+kx)}{hx}=\frac{k}{h},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\log_a(1+kx)}{x}=\frac{k}{\ln a}\quad(h\ne0)\]
3. Potenze e radicali
\[(1+kx)^\alpha-1\sim\alpha kx,\qquad \sqrt[n]{1+kx}-1\sim\frac{kx}{n}\quad(n\in\mathbb N,\ n\ge2)\]
\[\lim_{x\to0}\frac{(1+kx)^\alpha-1}{hx}=\frac{\alpha k}{h}\quad(h\ne0),\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+kx}-1}{x}=\frac{k}{2}\]
4. Equivalenze con una funzione \(u(x)\to0\)
\[\sin u\sim u,\quad \tan u\sim u,\quad 1-\cos u\sim\frac{u^2}{2},\quad e^u-1\sim u\]
\[\ln(1+u)\sim u,\qquad (1+u)^\alpha-1\sim\alpha u\quad(\alpha\ne0)\]
Qui \(u=u(x)\), con \(u(x)\to0\) per \(x\to0\), e valgono le condizioni di dominio.
5. Varianti del numero \(e\)
\[\lim_{x\to0}(1+kx)^{1/x}=e^k,\qquad \lim_{x\to0}(1+kx)^{h/x}=e^{kh}\]
\[\lim_{x\to0}(1+kx)^{1/(hx)}=e^{k/h}\quad(h\ne0)\]
Questi sono limiti di potenza di tipo \(1^\infty\); vicino a zero occorre \(1+kx>0\).
Nota: se un coefficiente che compare in un'equivalenza è nullo, scrivere il solo sviluppo al primo ordine può dare \(0\) e non un'equivalenza nel senso del rapporto. In quel caso si deve analizzare l'espressione specifica.