Regola generale e lettura rapida
\[
P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\]
In questa scheda: per le funzioni con termini dispari si arriva di solito fino a ordine 7; per quelle con termini pari o con sviluppo più comodo si arriva fino a ordine 6.
Notazione
\(f(x)=P_n(x)+o(x^n)\)
\(f(x)=P_n(x)+o(x^n)\)
Funzione pari
compaiono solo potenze pari di \(x\)
compaiono solo potenze pari di \(x\)
Funzione dispari
compaiono solo potenze dispari di \(x\)
compaiono solo potenze dispari di \(x\)
Tabella riassuntiva veloce
| Funzione | Polinomio | Ordine | Validità tipica |
|---|---|---|---|
| \(e^x\) | \(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}+\frac{x^7}{5040}\) | \(P_7\) | ogni \(x\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}\) | \(P_7\) | \(|x|<1\) |
| \(\frac1{1-x}\) | \(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\) | \(P_6\) | \(|x|<1\) |
| \(\sqrt{1+x}\) | \(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\frac{21x^6}{1024}\) | \(P_6\) | \(|x|<1\) |
| \(\sin x\) | \(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}\) | \(P_7\) | ogni \(x\) |
| \(\cos x\) | \(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\) | \(P_6\) | ogni \(x\) |
| \(\tan x\) | \(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}\) | \(P_7\) | \(|x|<\frac\pi2\) |
| \(\arctan x\) | \(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}\) | \(P_7\) | \(|x|\le 1\) |
1. Funzioni esponenziali e logaritmiche
Esponenziale
Polinomio \(P_7\)ogni \(x\)\[e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}\]
Esponenziale in base \(a\)
Polinomio \(P_7\)\(a>0\)\[a^x=e^{x\ln a}\approx1+(\ln a)x+\frac{(\ln a)^2}{2!}x^2+\cdots+\frac{(\ln a)^7}{7!}x^7\]
\(\ln(1+x)\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[\ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}\]
\(\ln(1-x)\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[\ln(1-x)\approx -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\frac{x^7}{7}\]
\(\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}\right)\]
2. Funzioni razionali e radicali
\(\frac1{1-x}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{1-x}\approx1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\]
\(\frac1{1+x}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{1+x}\approx1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\]
\(\frac1{(1-x)^2}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{(1-x)^2}\approx1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+7x^6\]
\(\frac1{(1+x)^2}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{(1+x)^2}\approx1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6\]
\(\sqrt{1+x}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\sqrt{1+x}\approx1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\frac{21x^6}{1024}\]
\(\frac1{\sqrt{1+x}}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{\sqrt{1+x}}\approx1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}-\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}-\frac{63x^5}{256}+\frac{231x^6}{1024}\]
\(\frac1{1+x^2}\)
Polinomio \(P_6\)\(|x|<1\)\[\frac1{1+x^2}\approx1-x^2+x^4-x^6\]
3. Potenze e binomio generalizzato
\((1+x)^\alpha\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[
\begin{aligned}
(1+x)^\alpha \approx{}&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3\\
&+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!}x^4\\
&+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)}{5!}x^5\\
&+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)(\alpha-5)}{6!}x^6\\
&+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)(\alpha-5)(\alpha-6)}{7!}x^7.
\end{aligned}
\]
In forma compatta: \(P_7(x)=\sum_{k=0}^{7}\binom{\alpha}{k}x^k\).
\((1-x)^\alpha\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[(1-x)^\alpha\approx\sum_{k=0}^{7}(-1)^k\binom{\alpha}{k}x^k\]
Radice cubica \(\sqrt[3]{1+x}\)
Caso \(\alpha=\frac13\)\(P_6\)\[\sqrt[3]{1+x}\approx1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}-\frac{10x^4}{243}+\frac{22x^5}{729}-\frac{154x^6}{6561}\]
Inversa della radice cubica
Caso \(\alpha=-\frac13\)\(P_6\)\[\frac1{\sqrt[3]{1+x}}\approx1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\frac{728x^6}{6561}\]
4. Funzioni trigonometriche e iperboliche
\(\sin x\)
Funzione dispari\(P_7\)\[\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\]
\(\cos x\)
Funzione pari\(P_6\)\[\cos x\approx1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\]
\(\tan x\)
Funzione dispari\(P_7\)\[\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}\]
\(\sinh x\)
Funzione dispari\(P_7\)\[\sinh x\approx x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}\]
\(\cosh x\)
Funzione pari\(P_6\)\[\cosh x\approx1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}\]
\(\tanh x\)
Funzione dispari\(P_7\)\[\tanh x\approx x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}\]
5. Funzioni inverse
\(\arcsin x\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|\le1\)\[\arcsin x\approx x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\frac{5x^7}{112}\]
\(\arctan x\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|\le1\)\[\arctan x\approx x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}\]
\(\operatorname{artanh}x\)
Polinomio \(P_7\)\(|x|<1\)\[\operatorname{artanh}x=\frac12\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}\]
\(\operatorname{arsinh}x\)
Polinomio \(P_7\)ogni \(x\)\[\operatorname{arsinh}x\approx x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}-\frac{5x^7}{112}\]
6. Nuove funzioni aggiunte
Queste sono le ulteriori funzioni inserite nel formulario.
Arcocoseno
Polinomio \(P_7\)\[\arccos x\approx \frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\frac{5x^7}{112}\]
Arcocotangente
Polinomio \(P_7\)\[\operatorname{arccot}x\approx \frac{\pi}{2}-x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}\]
Secante
Polinomio \(P_6\)\[\sec x\approx1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}\]
Cosecante
fino al grado 5\[\csc x\approx\frac1x+\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+\frac{31x^5}{15120}\]
Cotangente
fino al grado 7\[\cot x\approx\frac1x-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}\]
Radice di \(1-x\)
Polinomio \(P_6\)\[\sqrt{1-x}\approx1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}-\frac{7x^5}{256}-\frac{21x^6}{1024}\]
Inversa di \(\sqrt{1-x}\)
Polinomio \(P_6\)\[\frac1{\sqrt{1-x}}\approx1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}+\frac{231x^6}{1024}\]
Inversa di \(1-x\) al cubo
Polinomio \(P_6\)\[\frac1{(1-x)^3}\approx1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+21x^5+28x^6\]
7. Altri sviluppi molto utili negli esercizi
\(e^{x^2}\)
Polinomio \(P_6\)\[e^{x^2}\approx1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}\]
\(e^{-x^2}\)
Polinomio \(P_6\)\[e^{-x^2}\approx1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}\]
\(\ln(1+x^2)\)
Polinomio \(P_6\)\[\ln(1+x^2)\approx x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}\]
\(\dfrac{\sin x}{x}\)
Polinomio \(P_6\)\[\frac{\sin x}{x}\approx1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^6}{5040}\]
\(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\)
Polinomio \(P_6\)\[\frac{1-\cos x}{x^2}\approx\frac12-\frac{x^2}{24}+\frac{x^4}{720}-\frac{x^6}{40320}\]
\(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\)
Polinomio \(P_6\)\[\frac{\ln(1+x)}{x}\approx1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}-\frac{x^5}{6}+\frac{x^6}{7}\]
8. Come usare bene questi sviluppi
- Se la funzione è pari, cerca solo termini pari: esempio \(\cos x\), \(\cosh x\).
- Se la funzione è dispari, cerca solo termini dispari: esempio \(\sin x\), \(\tan x\), \(\arctan x\).
- Negli esercizi conserva solo i termini fino all’ordine richiesto e raccogli il resto in \(o(x^n)\).
- Per funzioni composte sostituisci l’argomento: da \(e^t\) con \(t=x^2\) ottieni subito \(e^{x^2}\).
- Per nuovi sviluppi puoi derivare, integrare o moltiplicare sviluppi già noti.
Consiglio pratico. Per i limiti notevoli, nella maggior parte dei casi bastano i primi termini non nulli; per i polinomi approssimanti, invece, conviene riportare qui il \(P_6\) o il \(P_7\) completo.