Scuola superiore / Matematica / Limiti

Forme indeterminate e algebra dei limiti

Schema riassuntivo per il calcolo dei limiti di somme, prodotti, quozienti e potenze. Le celle evidenziate indicano i casi in cui i soli limiti di f e g non bastano a stabilire il risultato.

L, M = limiti finiti ? = forma indeterminata Le tabelle assumono limiti nello stesso punto oppure all'infinito

1. Limite della somma

Tabella operativa per somma di limiti finiti

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = L + M

\(\displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M\)

colonnef → righeg ↓	+∞	L	−∞
+∞	+∞	+∞	?
M	+∞	L + M	−∞
−∞	?	−∞	−∞

2. Limite del prodotto

Tabella operativa per prodotto di limiti finiti

lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = L M

\(\displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=LM\)

colonnef → righeg ↓	+∞	L > 0	0	L < 0	−∞
+∞	+∞	+∞	?	−∞	−∞
M > 0	+∞	LM	0	LM	−∞
0	?	0	0	0	?
M < 0	−∞	LM	0	LM	+∞
−∞	−∞	−∞	?	+∞	+∞

3. Limite del quoziente

Tabella operativa per quoziente con denominatore non nullo

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L}{M} (M \neq 0)

\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\quad(M\neq0)\)

colonnef → righeg ↓	+∞	L > 0	0	L < 0	−∞
+∞	?	0	0	0	?
M > 0	+∞	L / M	0	L / M	−∞
0	±∞	±∞	?	±∞	±∞
M < 0	−∞	L / M	0	L / M	+∞
−∞	?	0	0	0	?

Nella riga g → 0, il segno del quoziente dipende dal segno con cui g tende a zero. Se g → 0⁺ oppure g → 0⁻, i risultati infiniti possono cambiare segno. Se il denominatore cambia segno, il limite bilatero può non esistere.

4. Limite della potenza

Tabella dei casi possibili per potenze reali positive

lim_{x \to a} {f (x)}^{g (x)}

\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\)

colonneg → righef ↓	−∞	M < 0	0	M > 0	+∞
0⁺	+∞	+∞	?	0	0
0 < L < 1	+∞	L^M	1	L^M	0
1	?	1	1	1	?
L > 1	0	L^M	1	L^M	+∞
+∞	0	0	?	+∞	+∞

Per la potenza reale f(x)^g(x) si assume che la base sia positiva in un intorno del punto. Le forme indeterminate classiche sono 0⁰, 1^∞ e ∞⁰.

Come riconoscere le forme indeterminate

Una forma indeterminata non significa che il limite non esista. Significa che i soli limiti delle singole funzioni non bastano e bisogna trasformare l’espressione o usare limiti notevoli.

Le sette forme classiche sono: ∞ − ∞, 0 · ∞, 0 / 0, ∞ / ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰.

Forma 0 / 0

limx → 0sin xx= 1

Si usa un limite notevole.

Forma ∞ − ∞

limx → +∞(√(x² + x) − x) = ½

Si razionalizza.

Forma 1^∞

limx → +∞(1 + 1x)^x = e

Si riconosce un limite notevole.

Forma 0 · ∞

limx → 0⁺x ln x = 0

Si può riscrivere come quoziente.

Attenzione: in presenza di potenze, zeri del denominatore o radici, verifica sempre le condizioni di esistenza e, quando serve, i limiti laterali.