Indice
1. I concetti primitivi e i primi assiomi della geometria euclidea
Concetti primitivi
Concetti primitivi
Sono assunti come concetti primitivi: punto, retta, piano.
Punti, retta e piano
Assiomi di appartenenza e d’ordine
ASSIOMA 1
Ogni piano è un insieme di punti. Ogni retta è un sottoinsieme del piano.
ASSIOMA 2 – Assiomi di appartenenza della retta
- A ogni retta appartengono almeno due punti distinti.
- Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta alla quale appartengono entrambi.
- Data una retta nel piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene a essa.
ASSIOMA 3 – Assiomi d’ordine della retta
I punti di una retta possono essere ordinati in modo che valgano le seguenti proprietà:
- dati due punti distinti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B;
- dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P precede B.
Ordine dei punti su una retta orientata
DEFINIZIONE – Fascio proprio di rette
L’insieme delle rette che passano per un punto del piano si chiama fascio proprio di rette; il punto per cui passano tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio.
2. Parti della retta e poligonali
Semirette e segmenti
DEFINIZIONE – Semiretta
Data una retta e un suo punto, si chiama semiretta la figura costituita dal punto e da una delle due parti in cui la retta è divisa dal punto stesso. Il punto si dice origine della semiretta.
DEFINIZIONE – Segmento
Dati due punti A e B su una retta, chiamiamo segmento AB l’insieme costituito dai due punti A e B e da tutti i punti compresi tra A e B. I punti A e B si dicono estremi; i punti del segmento diversi dagli estremi si dicono interni.
DEFINIZIONE – Segmento nullo
Un segmento AB i cui estremi A e B coincidono si chiama segmento nullo.
DEFINIZIONE – Segmenti consecutivi e segmenti adiacenti
Due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo si dicono consecutivi. Due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti.
Poligonali
DEFINIZIONE – Poligonale
Si chiama poligonale la figura formata da un insieme ordinato di segmenti, tali che:
- ciascun segmento e il successivo siano consecutivi ma non adiacenti;
- ciascun estremo dei segmenti sia in comune al massimo a due di essi.
DEFINIZIONE – Poligonale aperta, chiusa e intrecciata
Se il primo e l’ultimo estremo di una poligonale coincidono, la poligonale si dice chiusa; altrimenti si dice aperta. Se due lati non consecutivi hanno un punto in comune, la poligonale si dice intrecciata.
3. Semipiani, angoli e poligoni
Figure convesse e concave
DEFINIZIONE – Figure convesse e figure concave
Una figura geometrica F si dice convessa se, comunque scelti due punti A, B ∈ F, il segmento AB è tutto contenuto in F. Una figura non convessa si dice concava.
ASSIOMA 4 – Assioma di partizione del piano da parte di una retta
Consideriamo una retta r nel piano. L’insieme dei punti del piano che non appartengono a r resta diviso da r in due sottoinsiemi disgiunti e convessi, α e β, tali che, se A ∈ α e B ∈ β, allora il segmento AB interseca la retta r in uno e un solo punto.
DEFINIZIONE – Semipiano
Data una retta in un piano, si chiama semipiano la figura costituita dalla retta e da una delle parti in cui il piano è diviso dalla retta stessa. La retta si dice origine (o frontiera) del semipiano.
Angoli
DEFINIZIONE – Angolo
Date in un piano due semirette aventi la stessa origine, si chiama angolo la figura costituita dalle due semirette stesse e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse. L’origine delle due semirette si chiama vertice; le due semirette si chiamano lati dell’angolo.
Angolo piatto
Ogni angolo che ha come lati una coppia di semirette opposte.
Angolo giro
Ogni angolo che ha come lati due semirette coincidenti e che coincide con l’intero piano.
Angolo nullo
Ogni angolo che ha come lati due semirette coincidenti e che non contiene altri punti oltre a quelli dei suoi lati.
DEFINIZIONE – Angoli consecutivi e angoli adiacenti
Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice e hanno in comune soltanto i punti di un lato. Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
DEFINIZIONE – Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se sono convessi e i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
Poligoni
DEFINIZIONE – Poligono
Consideriamo una poligonale chiusa e non intrecciata. Chiamiamo poligono la figura formata dalla poligonale e dai punti interni a essa. I vertici e i lati della poligonale si chiamano vertici e lati del poligono. La poligonale si dice contorno o frontiera del poligono.
DEFINIZIONE – Diagonale, corda, angolo interno, angolo esterno
- Diagonale: segmento che congiunge due vertici non consecutivi.
- Corda: segmento che congiunge due punti del contorno appartenenti a due lati distinti.
- Angolo interno: angolo convesso individuato da due lati consecutivi del poligono e dal vertice in comune.
- Angolo esterno: ogni angolo adiacente a un angolo interno.
4. Il concetto di congruenza
Figure congruenti e movimenti rigidi
Congruenza
Il concetto di congruenza viene assunto come concetto primitivo. Due figure sono intuitivamente congruenti quando possono essere sovrapposte punto a punto mediante un movimento rigido (per esempio traslazione, rotazione o riflessione).
ASSIOMA 5 – Primo assioma di congruenza
La relazione di congruenza fra le figure del piano gode delle seguenti proprietà:
- ogni figura è congruente a sé stessa (proprietà riflessiva);
- se F₁ è congruente a F₂, allora F₂ è congruente a F₁ (proprietà simmetrica);
- se F₁ è congruente a F₂ e F₂ è congruente a F₃, allora F₁ e F₃ sono congruenti (proprietà transitiva).
ASSIOMA 6 – Congruenza di punti, semirette, piani e semipiani
Tutti i punti sono congruenti fra loro, e così pure le rette, le semirette, i piani e i semipiani.
ASSIOMA 7 – Trasporto dei segmenti e degli angoli
- Dato un segmento AB e una semiretta r di origine O, esiste un unico punto P sulla semiretta tale che AB ≅ OP.
- Dato un angolo aÔb e una semiretta a′ di origine O′, su ognuno dei due semipiani individuati dalla retta cui appartiene a′ esiste una unica semiretta b′, di origine O′, tale che a′Ô′b′ ≅ aÔb.
DEFINIZIONE – Poligono regolare
Un poligono che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti si dice regolare.
5. Congruenza e misura dei segmenti
Operazioni con i segmenti
DEFINIZIONE – Somma di segmenti
Se AB e BC sono due segmenti adiacenti, chiamiamo somma di AB e BC il segmento AC e scriviamo AB + BC ≅ AC. Per segmenti qualsiasi, la somma è il segmento congruente a quelli dati disposti adiacenti fra loro.
DEFINIZIONE – Differenza di segmenti
Dati due segmenti AB e CD, con AB > CD, si chiama differenza il segmento che, addizionato a CD, dà come somma AB.
DEFINIZIONE – Multiplo e sottomultiplo di un segmento
Dato un numero naturale n non nullo e un segmento CD, somma di n segmenti congruenti ad AB, si chiama multiplo di AB secondo il numero n e si scrive CD ≅ nAB. Simmetricamente, AB è sottomultiplo di CD secondo il numero n e si scrive AB ≅ (1/n)CD.
ASSIOMA 8
Somme, differenze, multipli e sottomultipli di segmenti congruenti sono a loro volta congruenti.
Divisibilità e punto medio
DEFINIZIONE – Punto medio
Dato un segmento, si dice punto medio del segmento il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
AM ≅ MB = ½ AB
Misura dei segmenti
DEFINIZIONE – Misura di un segmento
Determinare la misura di un segmento AB rispetto a un segmento u scelto come unità di misura significa stabilire quante volte il segmento u è contenuto nel segmento AB.
DEFINIZIONE – Segmenti commensurabili e incommensurabili
Se la misura di un segmento rispetto all’unità scelta è un numero razionale, il segmento e l’unità sono commensurabili; se la misura è un numero irrazionale, sono incommensurabili.
PROPRIETÀ – Misura di un segmento
Dato un segmento non nullo e un’unità di misura, al segmento si può associare un unico numero reale positivo, detto misura del segmento, con le proprietà:
- due segmenti sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura;
- un segmento AB è minore di un segmento A′B′ se e solo se la misura di AB è minore della misura di A′B′;
- la misura della somma di due segmenti è la somma delle misure dei due segmenti.
DEFINIZIONE – Distanza e lunghezza
Si dice distanza tra due punti A e B la misura del segmento AB. La misura di un segmento è anche chiamata lunghezza del segmento.
ASSIOMA 9 – Assioma di continuità
Comunque fissati un segmento non nullo u come unità di misura e un numero reale positivo k, esiste un segmento la cui misura rispetto a u è il numero k.
6. Congruenza e misura degli angoli
Confronto e operazioni con gli angoli
DEFINIZIONE – Somma di angoli
Si definisce somma di due angoli consecutivi convessi l’angolo che ha come lati i due lati non comuni dei due angoli. La somma di due angoli convessi qualsiasi è la somma di due angoli rispettivamente congruenti a quelli dati e consecutivi tra loro.
DEFINIZIONE – Differenza di angoli
Dati due angoli convessi α e β, con α > β, l’angolo che, addizionato a β, dà come risultato α si dice differenza di α e β.
DEFINIZIONE – Multiplo e sottomultiplo di un angolo
Il multiplo di un angolo secondo un numero naturale n è la somma di n angoli congruenti a esso; il corrispondente angolo di partenza è un sottomultiplo secondo n.
ASSIOMA 10
Somme, differenze, multipli e sottomultipli di angoli congruenti sono congruenti.
DEFINIZIONE – Bisettrice
Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, avente origine nel vertice dell’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.
Angoli particolari
DEFINIZIONE – Angolo retto, acuto e ottuso
- Angolo retto: la metà di un angolo piatto.
- Angolo acuto: ogni angolo maggiore dell’angolo nullo e minore di un angolo retto.
- Angolo ottuso: ogni angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.
DEFINIZIONE – Angoli complementari, supplementari ed esplementari
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono complementari; due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono supplementari; due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono esplementari.
Teoremi sugli angoli
TEOREMA 1 – Angoli complementari di angoli congruenti
Due angoli complementari rispettivamente di due angoli congruenti (o dello stesso angolo) sono congruenti.
TEOREMA 2 – Angoli supplementari di angoli congruenti
Due angoli supplementari rispettivamente di due angoli congruenti (o dello stesso angolo) sono congruenti.
TEOREMA 3 – Angoli opposti al vertice
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
α ≅ β
Misura degli angoli
PROPRIETÀ – Misura degli angoli
Dato un qualsiasi angolo non nullo α e scelto un angolo non nullo come unità di misura, all’angolo α si può associare un unico numero reale positivo, detto misura dell’angolo, con le proprietà:
- due angoli sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura;
- un angolo α è minore di un angolo α′ se e solo se la misura di α è minore della misura di α′;
- la misura della somma di due angoli è la somma delle misure degli angoli.
DEFINIZIONE – Ampiezza di un angolo
La misura di un angolo viene chiamata anche ampiezza dell’angolo.
DEFINIZIONE – Grado, primo e secondo
Il grado è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Il primo è la sessantesima parte del grado: 1′ = 1/60°. Il secondo è la sessantesima parte del primo: 1″ = 1/3600°.
Angoli di 90°, 180°, 270° e 360°
Angoli di misura superiore a 360°
Un angolo può essere interpretato come sottoinsieme del piano descritto dalla rotazione di una semiretta attorno alla sua origine; questa interpretazione consente di considerare anche ampiezze maggiori di un angolo giro, ad esempio α + 360°.
Schema finale degli enunciati
Assiomi
Assiomi 1–10.
Teoremi
Teoremi 1–3.
Contenuto
Definizioni, proprietà, congruenza e misura.
Definizioni principali
Fascio proprio di rette; semiretta; segmento; segmento nullo; segmenti consecutivi e adiacenti; poligonale; poligonale aperta, chiusa e intrecciata; figure convesse e concave; semipiano; angolo; angolo piatto, giro e nullo; angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice; poligono; diagonale; corda; angolo interno ed esterno; poligono regolare; somma, differenza, multiplo e sottomultiplo di segmenti; punto medio; misura di un segmento; commensurabilità; distanza e lunghezza; somma, differenza, multiplo e sottomultiplo di angoli; bisettrice; angolo retto, acuto e ottuso; complementari, supplementari ed esplementari; ampiezza; grado, primo e secondo.